SYSU-MATH-DIY

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前言

这里是一份中山大学数院本科指南。指南中包含的课程来源于数院2020级的课程大纲。我本人没有上过的课程会特别标记出来，这些课程的内容来自数院其他的优秀学长学姐。同时，很多课程只在课程大纲内有，但是没有开设。由于数院近年课程大纲变化较多，因此这里的内容顺序应和实际情况有一定出入。

这里的内容仅代表作者们自己的经验，对于不同基础的同学会有不同的情况，这里无法一概而论。

如果有建议和意见，欢迎通过邮件和我联系，也欢迎学弟学妹和我交流学习经验。

感谢

为这份指南作出贡献的同学有：

动机

写这份指南的动机很简单，引用上海交通大学生存手册中的一段话简单概括：

国内绝大部分大学的本科教学，不是濒临崩溃，而是早已崩溃。在此，我无意争论是否复旦、中科大、或者清华、北大是否比我们崩溃的更少一些——这种争论是没有意义的。我只是看到了无数充满求知欲、激情、与年轻梦想的同学们，将要把自己的四年青春，充满希望与信任地交给大学来塑造。这使我心中非常不安。

中大数院也有这上面的问题。事实上，中大数院课程质量可以说是良莠不齐，课程大纲也有着巨大的问题，数院存在的一些问题包括但不仅限于：

  • 课程覆盖不全。许多纯数学方向的课程都很少甚至没有，包括代数、几何、数论、组合、逻辑学等方向。以数论为例，中大数院的数论课程仅有一门初等数论，2020级仅作为一门选修开设，而2021级修改为必修。同时，应用数学和统计学方向的课程开设也不容乐观。并且，课程大纲内的很多课程也没有开设。
  • 课程顺序设置不合理。以拓扑学为例，在北京大学数学科学学院的大纲中，拓扑学最早可以在大一时便可以选修，而对于纯数学方向的学生最晚在大二也必须选择这门课程。然而，2020级的这门课程是在大四上开设的，并且仅作为一门选修而不是必修。2021级虽然将这一门课修改为在大三下作为必修开设，但是仍然无法解决中大数院在几何这个方向上课程设计的问题。
  • 教材问题。中大数院选择的教材基本都是《XXX简明教程》等一些偏简要的教材，这些内容很多都是从其他书本中节选下来的，这导致了很多的问题，例如：在整个四年的教学中，选择公理这一重要概念始终被回避。这种方式是有利于教学的，但是这并不利于有志的学生深入学习数学。

这些问题只有数院采取一些强力的手段才有可能解决，例如：大力引进教师、完全修改课程大纲和教材等，这对于现阶段的数院是不可能实现的。因此，我们希望通过自己的一些力量来帮助大家，这也是撰写这份指南的初衷。

0年级

这里都是一些我自己的私货。事实上，我认为了解这些知识对整个学习阶段都有帮助，因此我将其作为0年级的部分。

一个贯穿大学的问题是：你的目标是什么？ 只有确定了目标，才能确定你需要做什么。一个简单的分类是

  • 我要本科毕业就工作
    • 从事什么行业？需要那些技能？……
  • 我要读研
    • 保/考研
      • 要读什么专业？去哪个学校读？学硕/专硕/直博？……
    • 留学
      • 去哪个国家读？读什么专业？硕士/博士？是否以后留在国外？……

确定好了目标才能制定出详细的计划，并在大学中一步一步实现。我推荐大家参考上海交通大学生存手册，这一份手册可以帮助你思考一些问题，并且可以帮你确定你的目标。

关于教材，绝大部分数院的教材以及我提到的参考教材都可以找到电子书，教材的电子版通常可以找学长学姐获得。如果有空，我也会整理这些教材并且分享一些电子书的获取方式。如果有需要，欢迎和我单独联系。

关于教材、讲义和习题等，有一些参考的资料：

  • Cambridge Notes 小哥Dexter Chua在剑桥学习期间的笔记。他还传授了一些LaTeX技巧。
  • Oxford Mathematical Institute 剑桥数学学院的官网，有所有课程的资料。
  • MSE 最大的数学交流网站之一，有问题都可以在这里提问。

同时，数院有一些可以利用的资源，这些资源包括但不仅限于：

  • 53。53指的是由学院志愿者队真题部收集整理并免费发放给大家的往年考试真题，通常期中考和期末考各有一份。53中的题目来源不确定，有部分题目为数十年前的真题，从而经常出现不同真题之间考试范围、题型不同的情况，对于实际考试不一定有实际帮助。同时，高年级的题目会非常少甚至没有。来自学院的一些不可抗因素也导致目前真题的获取变得比较困难。我个人对于53的排版非常讨厌，也尝试过改进这一现象，但是收效甚微。
  • 辅导课。辅导课指的是由学院志愿者队学业辅导中心开设的辅导课，通常每个课程1-2周开设一次，主要内容为知识的讲授或者习题解答。上课的学助 (不是学院兼职工作的那个学助) 通常是数院的高年级本科生或者研究生。

最后，有几个我总结的原则和大家分享，希望能帮助到大家。

  • 多读国外教材，读原版教材。国内的数学教材质量大部分非常差，因此阅读国外的教材是一个非常重要的学习方式。同时，大部分国外教材的翻译都很差，因此需要直接读原版教材。这个过程在最开始会非常痛苦，但是适应以后会有非常大的帮助。
  • 多做题。这一点主要针对的是那些为了考高分的同学。通常来说，数院的考试题和教材的课后习题在题型、风格等方面都比较接近，因此认真对待课后的习题是非常重要的。如果能在考前完成并吃透课后的所有习题，我相信能取得一个很好的成绩。
  • 高分 $\neq$ 学懂。事实上，成绩和你是否学会了这门学科并没有直接的关系，我个人经常会遇见这种情况，即学得知识多和广反而考试不如其他人。因此，不应该以高分为学习的目标，高分可以通过刷题实现，但是刷题不能让你学懂一门学科。

注：以下的内容均按照2020级大纲顺序安排

1年级

上学期

上学期的专业课有：数学分析、几何与代数和高级语言程序设计。所有课程都是专必。为了区分，多个相同名称的课程会用(1),(2),(3)区分。

数学分析(1)

6学分，教材：数学分析简明教程 by 邓东皋

这是数院大多数人上的第一门课，也是最重要的之一。数分需要上三个学期，第一个学期的课程一般来说包括：极限和连续性、微商和微分、微分中值定理和不定积分。

教材点评：数学分析简明教程是大多数人遇见的第一本简明教程（之一），这本书有效地贯彻了简明这两个字，可以认为是北大教材的简化版。事实上，邓东皋的很多书都可以认为是北大对应教材的简化版，我相信这和他曾经作为北大数院院长有一定关系。同时，邓东皋在中大数院有着极深的影响，导致这本书虽然有很多问题，但是现如今仍然在使用。这本书还是有一些优点，其中的习题大多数质量还可以，部分习题来自吉米多维奇，不过难度顺序安排上仍然有一些问题。

参考资料：数学分析这方面的参考书数不胜数，我这里只列出一些我读过的参考书，仅供参考。

  • 微积分学教程 by 菲赫金哥尔茨 虽然这套书的名字是微积分学教程，但是其内容都是数学分析的基本内容。这套书共有三卷，页数加起来过千，内容非常翔实，基本上古典分析的所有内容都可以在这当中找到。这套书由于内容非常详细，因此没有习题，学习过程中需要的内容基本都可以在书中的结果或者例题找到。如果觉得内容过多，可以参考同一作者的数学分析原理，是这套书的精简版。
  • 数学分析 by 卓里奇 这套书非常好，在知乎等地方有着极高的评价，但是这套书的内容偏难，可酌情选择。
  • 数学分析 by 伍胜健 这套书是北大用的数分教材，可以认为是数院教材的扩充版，适合当作数院教材的替代品。
  • 数学分析新讲 by 张筑生 这也是北大的一套教材，比上面一套教材更加友好，评价也更高，适合初学者阅读。
  • 数学分析教程 by 常庚哲 这是中科大的数分教材，这套书也和北大数分教材类似，有许多进阶内容，可以作为阅读材料。
  • Principles of Mathematical Analysis by Rudin 这是一本国外常用的数分教材，通常叫做baby rudin，其内容和顺序与国内的教材有一些区别，难度也略高，适合有良好基础的同学学习。
  • Analysis by Amann 这是一套德国的数分教材，和国内的教材有着非常大的区别，只适合学习了后续课程以后进行回顾时使用，会有很多不一样的收获。

同时，有一份讲义需要特别介绍：

  • 清华大学丘成桐数学英才班讲义 by 于品 这份讲义很有意思，在顺序和内容的安排方面有着非常创新的地方，其主要参考了法国的数学教材。这份讲义适合对于数学学习有着较高追求的同学，但由于其内容和顺序与常见教材很不一样，一般只适合作为阅读材料。

对于习题，有几套常见的习题：

  • 数学分析习题集 by 吉米多维奇 这套书就是大名鼎鼎的吉米多维奇，包含了上千套题目，内容覆盖非常全面，但是不建议浪费太多时间。
  • 数学分析习题课讲义 by 谢惠民 这套书处在习题和教材之间，既介绍了很多课内没有的知识，也包含很多有趣的习题，非常值得认真阅读和思考。注意，这套书中的部分题目难度极大，不建议浪费太多时间。注：这套书没有官方答案，上册可以找到第三方的答案。
  • 数学分析中的典型问题与方法 by 裴礼文 这本书就是大名鼎鼎的裴礼文，基本包含了国内考研和数学竞赛会涉及到的绝大多数内容和题型，适合那些需要考研竞赛或者有大量精力刷题的学生。
  • 数学分析中的问题和反例 by 汪林 一本很有意思的书，书中提供了很多的反例，学习这些反例有助于建立正确的直觉。

B站上有陈纪修老师的数分课程视频，讲解详细，并且也配套有一套陈纪修老师编写的教材，可以结合使用。

学习建议：数分(1)的内容不算难，做完课后的习题基本上是足够了，主要难点在于微分中值定理的应用和不定积分的计算，这两部分可以额外花费一些时间学习做题。

几何与代数(1)

6学分，教材：解析几何简明教程 by 吴光磊 和 高等代数简明教程 by 蓝以中

这门课程的前半学期主要内容是解析几何，后半学期开始介绍高等代数的内容。高等代数的内容通常只有矩阵和行列式这两部分。

教材点评：解析几何简明教程也贯彻落实了简明这两个字，内容相对来说较少。高等代数简明教程也比较简明，同时编排顺序和国内常见的高等代数教材有一些不同，我个人不喜欢这套书，因为我觉得这套书内容组织上有很大问题，但知乎豆瓣等论坛对这本书评价很好，因此这个问题见仁见智。

参考资料：解析几何由于是苏联和国内特有的学科，因此这方面的参考书很少，值得推荐的有：

  • 解析几何 by 丘维声 这本书可以认为是标准的解析几何教材，讲解详细内容丰富，适合有空闲的同学阅读，也适合竞赛备考使用。

高等代数的参考书就有很多了，一些知名的参考书有：

  • 高等代数 by 丘维声 这套书有两个版本，通常推荐的版本是清华大学出版社的白色大厚书。这一套书内容非常扎实，包含了所有需要的高等代数知识，并且习题数量也很多，可以认为是高等代数版的微积分学教程。这套书也适合竞赛和考研使用。
  • 高等代数 by 谢启鸿 这套是复旦的高等代数教材，讲解内容也比较详细，相对来说比丘维声更加简洁，适合时间不多的同学使用。这套书有两本，一本是教材，一本是习题集。
  • 线性代数 by 李炯生 所谓的亚洲第一难书，只适合竞赛备考等使用。
  • Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang 这本书是非常著名的线性代数教材，在b站等网站有非常多的配套视频，作者的讲解也是深入浅出，非常适合初学。这本书有中文翻译。
  • Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler 这本书是国外的一本非常有名的线性代数教材，不过包括了数院的会讲绝大多数内容。这本书的质量非常高，但是其讲解顺序和国内教材有非常大的区别，因此是一个见仁见智的选择。这本书有中文翻译。

有一本没有完成的书：

同时，高等代数有一本配套的高等代数学习指南 by 蓝以中，包含了部分的习题和一些讲解内容。丘维声的高等代数也有配套的学习指南，只不过内容很多与教材相同，只是包含了更多的习题解答。

视频资料方面，B站的up不是吴老师是布大人有在更新蓝以中的详细讲解，B站也有丘维声的高等代数课程视频。

学习建议：解析几何难度不大，不过对于计算熟练度有一定需求，需要多做题目；高等代数这个学期的内容都比较简单，也只需要多做题即可。

高级语言程序设计(C++)

4学分，教材：C++面向对象程序设计 by 谭浩强

C++这门课相对来说比较简单，如果有一定编程基础学起来会很轻松。这门课的一个较大问题是：考试需要手写代码，因此对于代码能力有一定的要求。

教材点评：谭浩强的书是著名的烂，并且书中的问题非常多，因此建议有能力的同学寻找较好的资料自学。

参考资料：一些著名的C++参考书有：

  • C++ Primer 一本比较厚的书，内容非常详细，适合有时间有精力的同学。
  • C++ Primer Plus 比Primer相对来说内容少一些，比较精简。
  • Effective C++ 一本进阶的C++书，介绍了一些比较高级的内容。

这些书都有中文翻译。

同时，有一些优秀的国外公开课可以参考，可以参考csdiy中的编程入门部分介绍的课程。

学习建议：学习编程主要就是多写代码，除了课内布置的作业可以通过完成公开课中的一些作业和项目来提高代码能力。同时，为了针对数院的考试形式，也可以多进行手写代码的尝试，务必做到一次通过没有bug。

下学期

下学期的专业课有：数学分析、几何与代数、离散数学、统计学导论、数论基础和大学物理。其中，数学分析和几何与代数是专必，其他课程都是专选。

数学分析(2)

5学分，教材：数学分析简明教程 by 邓东皋

数分(2)是数分(1)的后续课程，主要包含了定积分、广义积分和瑕积分、泰勒公式、实数系基本定理、数项级数和函数项级数、幂级数和Fourier级数。

教材和参考资料部分和数分(1)完全相同。

学习建议：数分(2)的难度略高，定积分部分的计算难度较高，需要做较多的练习；实数系基本定理之间的等价性证明也是一个难点，同时能够判断出应当使用哪一种定义也是一个要点，可以参考谢惠民中各种定义的例题；级数部分的难点较多，主要集中在收敛性的判别上，可以多研究各种例题中所用技巧，这部分可以参考裴礼文中的各类题目。

几何与代数(2)

5学分，教材：高等代数简明教程 by 蓝以中

几代(2)也是几代(1)的后续课程，这一年只包含高等代数的内容，主要包含了线性空间、双线性函数与二次型、Jordan标准型等。

教材和参考资料部分和高代(1)完全相同。

学习建议：线性空间和Jordan标准型是难点。线性空间的难点在于线性变换及其性质，包括特征值、相似及相抵等，线性空间的内容较为抽象，需要深入理解概念和性质，对于刷题要求不高；Jordan标准型的难点在于如何寻找Jordan标准型，这部分需要通过多做题来提升熟练度。

离散数学(专选)

3学分，教材：离散数学 by 左孝凌

离散数学名字听起来较为奇怪，这门课主要的内容都是数学基础，离散数学这个名称主要是计算机科学那边使用。这门课主要介绍了数学的公理化基础内容，包括数理逻辑、集合论等内容，也有组合和图论等一些其他内容。

教材点评：左孝凌这本书非常上古，距离今天已经有40年的历史，其中的符号等很多都和现在常用的有所不同。这本书的内容没有太多欠缺，但是缺少讲解，这也是那个年代教材的特点。

参考资料：有两类参考书可以选择，一类是计算机的离散数学教材，推荐的书有：

  • Discrete Mathematics and Its Applications by Rosen 这本书内容非常多，包含大量例题和习题，讲解很细，深入浅出，完全包含了数院这门课程的所有内容，适合当主要的参考书使用。这本书有中文翻译。

对于数学基础的部分，主要可以参考一些以数学基础为名的书籍和一些专著，包括：

B站有部分国内大学的网课，由于这门课在国外主要是计算机方向的数学基础课程，因此国外大学的网课会包含很多的计算机内容，适合想润CS的同学。

学习建议：由于数院的上课内容不多，实际难度不大，因此做完课后题基本没有问题。

统计学导论(专选)

2学分，教材：统计学的世界 by Moore

统计学导论这门课程内容和名字不完全相符，更多像是一门科普性质的课程。

教材点评：统计学的世界这本书是科普性质的书，不包括多少数学知识，因此没有太多评价。

参考资料：这门课由于上课内容不明确，因此取决于老师的推荐。

学习建议：20级的考试是全英文，因此了解涉及到的英语术语比较重要。考试内容会随着老师安排而有较大变化，因此没法给出建议。事实上，这门课会布置一些画图的作业，由于大一下没有开设编程方面的过程，因此建议同学们借本课程的机会掌握R语言或者Python的面向过程编程，这样对大二上的数值分析和大二下的数据结构都更有好处。

数论基础(专选)(我没上)

3学分，教材：初等数论 by 闵嗣鹤

初等数论包含了数论的一些基本内容，包括：整除、不定方程、同余、原根等。

教材点评：

闵嗣鹤老师的教材比较薄，哪怕没有数论基础的人也可以轻松入门。当时上这门课的老师是范翔老师，额外补充了一点点p-adic的内容，到期末时上到了第六章第二节。

参考资料：我高中数竞用过的数论教材是：

同时还有Rosen、Hardy、华罗庚、陈景润的数论教材，可按照个人喜好选择。

学习建议：

大学物理(1)(专选)

4学分，教材：大学物理学 by 张三慧

大学物理就是介绍一些进阶的物理学知识，大学物理(1)主要包括力学和热学的内容。

教材点评：张三慧这本书就是比较普通的大学物理教材，内容较为简略，中间有些部分内容写的略混乱，习题数量也不多。

参考资料：可以参考物理系的教材，例如：

大学物理有各种习题集，这里就不做推荐。如果对于难题有兴趣的同学，可以参考物理学难题集萃这套书，这套书是高中物理竞赛的常用习题集。

教材有一本配套的辅导书，包含了书中习题的答案。

B站的教学视频很多，可以看物理系的课程视频，例如舒幼生的力学课程视频。

学习建议：物理的套路较多，多研究题目就可以熟练掌握这些套路，也可以看一些难题来学习如何处理复杂的题目，一般不会出现技巧性太高的题目。另一方面，如果同学志在数学物理领域发展或者想要“从更数学的角度”理解物理，可以前往清华大学李思老师的个人主页，可以看到电动力学，理论力学，量子力学等方面的讲义。

2年级

上学期

上学期的专业课有：数学分析、常微分方程、数值分析、概率论、大学物理。其中，大学物理是专选，其他课程都是专必。

数学分析(3)

5学分，教材：数学分析简明教程 by 邓东皋

数分(3)包括了数分剩下的所有内容，主要是多元函数的微积分，包括偏导数与全微分、隐函数存在定理、重积分和曲线积分与曲面积分等内容。

教材和参考资料部分和数分(1)完全相同。

学习建议：多元微积分学的主要难点有两个，分别是隐函数定理和各种积分间的联系。前者主要在于隐函数定理成立的条件及其结论，这方面需要细致地进行学习和运用；而后者主要在于如何使用不同的工具进行积分之间的转换，例如Green公式和Gauss定理等结论。特别地，如果需要深入学习多元微积分部分，可以使用一些专门的教材，例如Vector Calculus by Matthews。

常微分方程

4学分，教材：常微分方程 by 王高雄

常微分方程这个方向实际上包含很多内容，动力系统这个方向是都是从常微分方程定性理论之中发展出来的。然而，数院的常微分方程课程主要关注点都是怎么解方程，并不对于定性理论和几何理论有较多的研究。

教材点评：由于王高雄就是中大的教授，因此这本书也理所当然地作为中大数院的教材。然而，这本书的内容安排有很多的问题，其内容大篇幅地集中于如何求解方程，对于重要的定性理论和几何理论的讨论非常少。

参考资料：针对中大数院的内容，可以选择的参考教材有：

  • 常微分方程 by 庞特里亚金 这本书是经典的苏联教材，比数院的教材内容丰富、全面，但是需要一些额外的知识，包括复分析等。

同时，对于几何理论和定性理论方面有一些推荐的教材：

  • 常微分方程 by Arnold 这本书的讲授方法和数院的教材完全不同，这本书从相空间开始，以几何的视角讲解常微分方程，并且最后介绍了定性理论，是一本学习几何理论和定性理论的好教材。
  • 常微分方程几何理论与分支问题 by 张锦炎 这本书是王远世教授推荐的，这本书可以认为是动力系统的入门教材，详细地讨论了很多的几何理论和定性理论。

中大的教材配有学习指南，新版(第四版)不确定能否找到电子版，第三版有电子版但是题目和第四版不完全相同。

B站有王高雄的讲解视频。

学习建议：考试内容基本集中于如何求解方程，因此需要多做题目来掌握求解方程的方法和技巧。定性理论部分取决于上课内容和考试范围，这里没法简单给出建议。如果对这个方向感兴趣，可以学习Arnold的教材。

数值分析

3学分，教材：数值分析 by 李庆扬

数值分析主要关注如何在计算机中实现一些数学中的计算，包括：插值、函数逼近、数值微积分、线性方程组求解和微分方程求解等内容。

教材点评：李庆扬的这本书就是烂烂烂烂烂，很多概念都讲解不清楚，这本书中的问题非常多，不建议通过这本书去学习数值分析。

参考资料：一本比较好的数值分析教材是：

  • Numerical Analysis by Timothy Sauer 这本书深入浅出，讲的很明白，也有很多例子和示意图，是非常好的一本数值分析教材。这本书也有中文翻译版，但是版本较老。

学习建议：数院的考试方式通常是一些简单的算法实现题目，这需要多练习如何手算实现这些方法。部分作业题目需要用MATLAB或python等工具进行辅助，因此也需要了解这些算法如何在计算机上实现。因为该书的习题（哪怕是上机习题）是偏“理论”的，所以建议统计系（或对编程感兴趣的同学）直接参考李东风老师的统计计算里面的一些关于上机计算的应用，当然也可以参考一些最优化的书。总之，在应用中学数值计算会对未来无论学习还是工作都很有帮助。

概率论

4学分，教材：概率论基础 by 李贤平

概率论是概率统计的基础，中大数院的这门课程主要是初等概率论的内容，主要内容有公理化概率、条件概率和独立性、随机变量、数字特征和极限定理等，并且没有包括测度论。

教材点评：李贤平的教材深入浅出，讲解非常详细，题目也非常多，配合他的学习指南基本可以满足所有学习内容，唯一的缺点就是排版不好，不是LaTeX。

此外，该书可拓展性极强，甚至会拿后续课程的内容做例子，比如数理统计，随机过程，测度论等等。因此第一次学的时候会觉得重点不明确而束手无策。 另一方面，该书和后续课程的衔接性不强。如一般的概率论与数理统计的教材往往在大数定律前介绍统计量，在讲授LLN，CLT后介绍极限性质乃至渐进统计，这对我们理解LLN，CLT是有帮助的，但在一个学期学概率论往往会因为在学期末时间紧张而忽视对这方面的理解。

总之，不要单纯对这本书咬文嚼字，需要我们有意识的分辨哪些是重要的，哪些是拓展的。在课后题弄明白的前提下，建议阅读一些更深入的教材。

参考资料：一般来说李贤平已经够用，如果有需要可以参考的教材有：

对于测度论和高等概率论有兴趣的同学，可以参考以下的书籍：

高等概率论的参考资料太多，这里不能简单列举完，有兴趣的可以和我联系。

学习建议：能够吃透李贤平的内容和习题基本已经足够，如果有需要可以多做一些习题，参考上面提到的那本习题集。

大学物理(2)(专选)(我没上)

TODO

下学期

下学期的专业课有：复变函数、数理统计、代数学、数据结构、数学分析进阶、计算机原理与汇编语言。其中，复变函数、数理统计和代数学是专必，其他课程都是专选。

复变函数

4学分，教材：复变函数 by 余家荣

复分析在近代数学有举足轻重的地位，但是复变这门课只讲单复变函数，主要有解析函数、复积分、级数、留数、保形映射和解析延拓等内容。

教材点评：余家荣的这本书非常一般，也可以认为是一本简明教材，讲解不够清晰，例题也比较少，学起来比较费劲。

参考资料：复变的教材很多，可以参考的教材有：

  • Complex Analysis by Stein 著名的Stein四部曲之一，在知乎和豆瓣的评价都非常高，习题质量也很高，是最推荐的教材之一。有中文翻译版，但是质量非常差。
  • Complex Analysis by Ahlfors 首届菲尔茨奖得主写的书，内容扎实，讲解清晰，是非常经典的教材。有中文翻译版。
  • Visual Complex Analysis by Needham 非常有名的一本复分析教材，这本书从几何的角度解释复分析，观点非常新颖，非常适合初学时建立对于这门学科的直观理解。有中文翻译版，由齐民友教授翻译，质量很高，还加入了一些专门的说明，比原版书更加推荐。
  • 简明复分析 by 龚昇 科大的一本教材，适合当余家荣教材的替换版。
  • 复变函数 by 史济怀 可以认为是上面龚昇教材的扩充版本。题目有一定难度。知乎上有重排版本。
  • 解析函数论初步 by Cartan 法国的复分析教材，讲解方式和国内教材有很大不同，适合有一定基础的同学使用。
  • Real and Complex Analysis by Rudin 大名鼎鼎的Big Rudin，讲解清晰，内容丰富扎实，习题质量很高。由于讲解顺序问题，可以适当选择部分内容学习。

还有一些教材，例如Conway、Lang $^\ast$ 和普里瓦洛夫，可以看个人兴趣选择。

$^\ast$​​ Lang的习题非常有意思，有一道题是黎曼猜想。

习题集的选择不算多，有一本可以参考：

学习建议：建议另外选择一本教材替代余家荣，比如选择史济怀的教材。在学习复变的过程中建立几何直观非常重要，因此非常推荐通过Needham的教材来建立几何直观。为了应对考试，需要多做一些题目来学习一些技巧，尤其是留数的计算和保形映射的证明等。

数理统计

4学分，教材：数理统计学导论 by Hogg

数理统计是统计学的基础课程，介绍了很多统计方面的基本知识，包括各类分布、统计推断、假设检验和极大似然等。

教材点评：Hogg的书讲解清晰，例子也比较丰富，并且是self-contained的，有一些概念在概率论中可能没有提及，因此可以从头开始看。注意，这本书虽然有中文翻译版，但是翻译质量极差，错误很多，建议读原版教材。

参考资料：数理统计的参考资料也很多，我看过的有：

还有一些专著，例如：

  • Statistical Inference by Casella 统计推断的神书，把统计推断这部分讲解的很清晰透彻，内容很多。有中文翻译版。然而这本书有些过誉，因为它在理论上并没有比我们的教材严格多少，相反由于它的结构更加清新，完全可以当做我们学习数理统计时的参考书。

  • 数理统计 by 邵军 非常扎实的数理统计教程，是很多学校的研究生教材，有一本配套习题，适合用来做统计学方面的学术训练。

  • Essential Statistical Inference by Boos 方法现代，注重应用，是接触数理统计应用、数据分析、建模方面的好教程。建议在学完本门课程后使用。

注意，Hogg的书内容比较杂，因此通常来说一本参考书是不够的。

Hogg的书没有官方答案，chegg上有一些别人整理的答案。

学习建议：数理统计是统计学的入门课程，但是学起来也不是很轻松，多看例题和多做题是比较重要的，因为数理统计这门学科就是在解决实际问题，很多的知识和技巧需要通过实际的例子来知道如何运用。同时，和其他学科相比数理统计的概念很多，因此需要细致地理解这些概念。

代数学

4学分，教材：抽象代数 by 赵春来

代数学这门课通常叫抽象代数，介绍的是代数学的基础架构，主要就是群、环和域，可能会讲Galois理论。

教材点评：北大的这本教材也可以认为是简明教程，写的太简略了，只有基本的知识点，习题也不够，需要用参考书。

参考资料：代数学的参考资料很多，名字叫代数学、抽象代数或者近世代数的都有相似的内容，我读过的有：

  • 代数学引论 by 聂灵沼 另一本北大的教材，也是北大数院常用的参考书，比赵春来的内容丰富，讲的也好一些，适合当主要的教材使用。
  • 代数学引论 by 柯斯特利金 自成体系的一套书，有独特的讲解顺序，包括了高代和抽代的内容，有空闲时间的同学可以好好的读一遍。抽代的内容主要在第一卷和第三卷中。B站上有李文威老师的视频，讲得很好。
  • 代数学方法 by 李文威 非常好的一本代数学教材，在知乎和豆瓣评价非常高，观点新颖，内容丰富，包括范畴等内容，但是难度较大，适合对代数有浓厚兴趣的同学。这本书有电子版可以下载，电子版更新速度较快，修正了印刷版的很多bug。
  • 代数学 by van der Waerden 代数学最最最早的教材之一，非常经典，但是有一点过时。有中文翻译版，但是比较旧。
  • Algebra: Chapter 0 by Aluffi 同样是非常好的一本代数学教材，这本书是完全的self-contained，讲解非常清晰，深入浅出，也介绍了范畴的内容，非常推荐。
  • Algebra by Lang Lang写的大砖头，内容非常非常多，甚至涉及一些代数几何的内容，但是这本书过分的简明，适合当字典用。
  • Abstract Algebra by Dummit 也是一本大砖头，内容很多，但是讲解很细致，甚至有一点wordy，可能不适合所有人。
  • Algebra by Hungerford 这本书中规中矩，内容都有，讲解有一些问题。
  • Algebra by Artin Artin的教材也比较自称体系，和柯斯特利金一样有高代的内容，抽代的内容不算多。有中文翻译版，但是质量不高。
  • 代数学教程 by Godement 法国的抽代教材，和其他的书有较大区别，比较新颖。

还有很多教材，例如Bourbaki、Rotman、Jacobson和丘维声等，可以按照个人的兴趣选择。

除了这些，还有一些专著，例如：

习题集有：

学习建议：这门课正如其名，介绍的都是一些抽象的对象，因此需要结合一些实际的例子来学习，例如 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}[n]$ 等。按照中大数院的上课进度，一般只会讲完群论和环论，域的内容较少，因此难点通常都是在环论的部分，比如整环及其分类，学习这部分内容时例子也是非常重要的，例如 $\mathbb{Z}[x]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 等。和其他学科相比较，代数学的计算内容较少，主要都是Sylow定理的运用等，因此不需要刷很多题。

数据结构(专选)

5学分，教材：数据结构 by 王红梅

数据结构这门课不止有数据结构的内容，还介绍了很多算法，因此这门课在国外通常就叫数据结构与算法。

教材点评：这本书中规中矩，算不上好，内容都有，讲解一般。

参考资料：数据结构的参考资料也很多，常见的有：

同时还有很多网课，同样可以参考csdiy中的数据结构和算法中介绍的课程。

学习建议：计算机的课程学习方式大多类似，就是需要多写代码、多做项目，能够深刻理解算法。

数学分析进阶(专选)(我没上)

TODO

计算机原理与汇编语言(专选)(没开)

3年级

三年级开始专业分流，分为应数和统计两个方向。我本人是应数专业，因此统计方向的课程我均没有上过。注意，应数和统计部分课程名称相同，但是内容不完全相同。

上学期

应数上学期的专业课有：实变函数、数学实验与数学软件、偏微分方程、随机过程、密码学与信息安全、应用回归分析和矩阵分析。其中，实变函数、数学实验与数学软件和偏微分方程是专必，其他课程都是专选。

实变函数

4学分，教材：实变函数简明教程 by 邓东皋

实变函数主要就是将积分学进行了进一步的推广，以测度为基础进一步扩大了积分的定义，因此主要内容就是测度论和基于测度论的积分。

教材点评：又是邓东皋的经典简明教程，并且这本书显然就是北大教材的简化版，很多说明和例子甚至都一模一样。

参考资料：实分析也有非常多的教材，我读过的有：

除此之外还有很多可以选择的教材，按照个人喜好选择。

习题除了上面提到的学习指南，还有：

邓东皋书上有一个习题(第三章25题)在可以找到的某一份答案中没有，我个人觉得有一点超纲，解答可以看这里。

学习建议：和数分类似，实分析也需要做比较多的题目，多做题目才能熟练运用各种工具和技巧。同时，实变函数也需要一些深入的理解，主要关注这门课的安排顺序及意义，例如为什么需要引入测度来扩展积分的定义，如何定义新的积分等，这样能够更好地理解这门课介绍的内容。

数学实验与数学软件(MATLAB)

3学分，教材：无

这门课就是在介绍MATLAB的用法。这门课通常不使用教材，基本都是用李嘉老师的PPT。一般来说也不需要额外的参考资料。

学习建议：类似C++，多写代码多做项目即可。MATLAB的学习主要就是关注各种函数及其用法，因此还需要认真记忆一下课件和作业出现过或用过的函数。

偏微分方程

3学分，教材：数学物理方程 by 谷超豪

PDE是一个内容丰富的学科，目前的发展也很快。但是中大数院PDE的内容基本只限于解方程，包括调和方程、热传导方程和波动方程。

教材点评：我个人觉得这本书过于简明，写的太混乱，不适合阅读。

参考资料：PDE的书我读过的有：

教材有一本辅导书：

学习建议：如果只是为了考试，中大数院的考试其实不会很难，大多数题都是解一些简单的方程，对于证明的要求不高。如果需要认真学习PDE，可以深入地学习Evans的教材，但是这本书需要一些额外的知识，包括泛函等。

随机过程

3学分，教材：应用随机过程 by 林元烈

随机过程是非常重要的课程，尤其对于有志润金融的同学来说，几乎是一门必修课。这门课的内容通常有Markov链、Brown运动、鞅和随机积分等内容，中大数院通常只会讲Markov链。注意，应数的随机过程和统计的随机过程内容不同。

教材点评：一个字总结：💩。讲的非常混乱，错误也非常多，习题也有一定问题，部分题目基本不可能做出来。

参考资料：随机过程的资料也比较多，我读过的有：

事实上，随机过程有很多专著。针对Markov链，一本值得推荐的专著是：

  • Markov Chains by Norris 非常好的介绍Markov链的教材，讲解很清晰，比一般的随机过程教材多介绍了很多东西。

学习建议：随机过程这门课也要看和做很多的题目，推荐结合Ross的两本教材来研究例题和习题。

密码学与信息安全(我没上)

TODO

应用回归分析

事先声明 本节内容是结合两年三门课程总结出的。

3学分，教材：Linear Models and Extensions by Peng Ding

3学分，教材：应用线性回归模型 by Kutner

应用回归分析在笔者看来是统计学中相当有意思的一科。它相当符合“大众意义上”的数学，也就是“分析问题”+“解决问题”。事实上，不同于数学，大部分统计专业课都有相当强的应用背景，因此在学习中除了理解理论以外，记住一些生动的例子，或是完成一些研究项目，对理解应用回归分析很有帮助。

之所以在这里列出两本教材是因为本课程当时分别采用这两本，第一本用在数学系，第二本用在统计系。

教材点评：两本书都是不错的教材，若非要推荐一本，我想说丁鹏的书好在内容可以很好的被数学学院的同学们接收，而且样例丰富，还附有R的代码，内容全面而不散乱，是不可多得的入门，进阶教材。而Kutner的书十分基础，但也好在内容翔实，练习也比较注重基础，也有很强的可拓展性（比如直接再去学机器学习就亲切多了）。

参考资料：

学习建议： 考试比较简单，对于证明的要求不高。可以在前半学期把该门课程在某种程度上看成是R语言的入门课，对于想接触经济、金融的同学们来说，该课程与计量经济学的内容重合度很高，因此在学习时，建议同步阅读计量经济学，积累例子。

矩阵分析(没开)

统计下学期的专业课有：随机过程、应用回归分析、代数学、偏微分方程、生物统计、非参数统计、抽样调查与实验设计。其中，随机过程和应用回归分析是专必，其他课程都是专选。

下学期

应数下学期的专业课有：泛函分析、微分几何、数字图像处理、运筹学、数据库原理与应用、数学模型和高级软件设计。其中，泛函分析和微分几何是专必，其他课程都是专选。

泛函分析

3学分，教材：泛函分析讲义 by 张恭庆

泛函是分析学中最难的一门，这门课进一步研究了不同空间的函数和映射，抽象程度比较高。中大数院通常只讲几个空间，包括度量空间、Banach空间、Hilbert空间，重要的谱理论、紧算子等理论基本都不讲。

教材点评：张恭庆的质量不敢恭维，讲解不够清晰，有一点混乱。

参考资料：泛函的资料也很多，我读过的有：

还有很多的书，可以根据个人兴趣选择。

泛函的书有两种，一种是偏PDE的，另一种是偏硬分析的，例如Rudin就是偏硬分析的，因此可根据个人兴趣选择。

同样，有一本反例书：

学习建议：泛函有一定难度，和抽代一样比较抽象，但是泛函比较注重性质的研究，实际例子反而没有那么重要。如果只是为了考试，那么只需要多看题、多做题即可，可以参考Ciarlet的书，中大数院的考试难度通常不会很大。如果真正对泛函感兴趣，那么应该认真学习泛函的后续内容，包括紧算子、谱理论等内容。

微分几何

4学分，教材：Differential Geometry of Curves and Surfaces by do Carmo

中大的微分几何课程只讲古典微分几何，即曲线曲面论。

教材点评：do Carmo的书基本就是古典微分几何的标准教材，讲解清晰，例子也合适，习题丰富。

参考资料：古典微分几何的教材很少，可以参考的有：

有一本新的教材，内容不同但是很有学习意义：

这本书没有官方习题解答，只有网上整理的一些答案。

学习建议：一般来说，吃透do Carmo的书就能够应付考试，做完do Carmo的题目基本就能取得较好的成绩，按照惯例考试难度也不会很大。如果对于微分几何感兴趣，那么需要读一些其他教材，例如Riemann曲面的教材。

数字图像处理(专选)

3学分，教材：无

数字图像处理这门课算是CV的入门课程，一般来说是李嘉老师上，上课也是用李嘉老师的课件，主要的参考书是Digital Image Processing by Gonzalez，一本砖头参考书，有中文翻译版但是翻译质量很差。

学习建议：无脑跟随李嘉老师，李嘉老师上课讲解很好。课程难度不算大，考试也不会很难，只要认真学了都能取得不错的成绩。

运筹学(专选)

3学分，教材：运筹学通论 by 魏权龄

运筹学是一门研究优化的学科，主要会讲很多优化算法，例如线性规划、整数规划、非线性规划、排队论和博弈论等内容。

教材点评：这本书中规中矩，没有太大缺点也没有太多优点。

参考资料：运筹学参考资料比较多，基本也不需要参考资料。如果需要别的教材，可以参考运筹学导论 by Hillier。

学习建议：由于我们这门课是考察，因此总体难度不大，认真完成作业并且做好期末项目即可。

数据库原理与应用(我没上)

TODO

数学模型和高级软件设计(没开)

统计下学期的专业课有：多元统计分析及应用、统计计算、时间序列分析、生存分析、泛函分析、运筹学、贝叶斯统计、高等概率论、数字图像处理、数学模型和数据库原理与应用。其中，多元统计分析及应用、统计计算、时间序列分析和生存分析是专必，其他课程都是专选。

4年级

上学期

应数上学期的专业课有：拓扑学、计算机图形学、生物数学、泛函分析、现代偏微分方程、经济数学模型、随机分析、现代常微分方程定性理论、代数拓扑和人工智能与神经网络。所有课程都是专选。20级只开设了拓扑学和计算机图形学，并且计算机图形学由于人数太少，开学两周以后也没有继续开设。

拓扑学

3学分，教材：基础拓扑学讲义 by 尤承业

拓扑学是非常基础的课程，数院在这么晚才开属于是很不应该。

教材点评：尤承业这本书中规中矩，讲解不够清晰，有一点混乱。

教材点评：拓扑学的参考资料非常多，我读过的有：

  • 拓扑学(H)讲义 中科大王作勤(🚀)教授的讲义，内容很扎实，讲解也很好。
  • Topology by Munkres 经典的一本教材，在点集拓扑部分介绍的非常详细，代数拓扑部分有一点欠缺。有中文翻译版。
  • Basic Topology by Armstrong 也是一本很经典的教材，强调直观。
  • Topology w/o Tears by Morris 一本友好的拓扑教材，讲解还不错，内容也很丰富，并且持续在更新。网站上有中文版，但是是比较古老的版本。

学习建议：拓扑学也比较抽象，和抽象代数一样，各种例子在拓扑学的学习过程中非常重要，通过实际的例子能够加强想象能力。

统计上学期的专业课有：统计学习和算法分析与复杂性。其中，统计学习是专必。

下学期

一般来说4年级下学期完全没有课了，除了极个别同学为了修满学分而选择一些课程，通常也都是补修低年级的专选。

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